Equazione implicita della retta

Nel piano cartesiano si prendono due punti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) ed un punto P (x, y) (fig.n. 1), si vuole ricavare l’espressione che definisce la relazione esistente tra un qualunque valore x (ascissa di P) ed il corrispondente valore y (ordinata di P) tale che P sia allineato con P1 e P2 (valori noti). In pratica si vuole ricavare l’equazione della retta:

Dati i punti noti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) nel disegno indico le coordinate sugli assi cartesiani e traccio la retta passante per i due punti noti P1 e P2. Prendo su questa retta un generico punto P ( x , y ) ed individuo i due triangoli rettangoli P1A P2 e P1 B P con angoli retti in A e B ed angolo in comune in P1 ne consegue che anche il terzo angolo è uguale (180-90-P1) quindi i triangoli in oggetto sono simili.

Per i criteri di similitudine tra i triangoli è noto che in triangoli simili il rapporto tra lati omologhi è costante quindi possiamo scrivere:Osservando i punti in oggetto grazie al riferimento cartesiano si ricava facilmente che: AP1= x2 - x1 , P2A= y2 - y1 e BP1= x - x1 , PB= y - y1 possiamo scrivere (AP1/P2A)=(BP1/PB) nel modo seguente:

da cui:quest’ultima rappresenta l’equazione della retta passante per due punti di coordinate note.
Facendo il minimo comune multiplo si ottiene:

ponendo:

sostituendo nella (3) i termini indicati ai punti (4), (5) e (6) si ha

ossia l'equazione implicita della retta, come volevasi dimostrare.

Esempio: Consideriamo nel piano cartesiamo i punti P (2,1) e Q (3,4) e disegniamo la retta passante per i punti dati. Utilizziamo la formula

e sostituendo le coordinate di P e Q nella formula avremo:

sviluppando si arriva all'equazione -3x + y + 5 = 0 equazione della retta in forma implicita passante per i punti P e Q.