Condizione di perpendicolarità tra due rette

Data l’equazione della retta r del tipo y = mx si vuole determinare l’equazione della retta ad essa perpendicolare (vedi figura sotto).
Si conduce la retta perpendicolare ad r la quale avrà un’equazione del tipo y = m’x, ma non si conosce il valore di m’.

Dal punto H individuato sull’asse delle x a distanza pari ad 1 si conduce la retta parallela all’asse delle y. Quest’ultima interseca r nel punto B, mentre individua r’ nel punto A.
I triangoli OAH e OBH sono rettangoli in H ed è possibile applicare il 2° Teorema di Euclide:
AH : OH = OH : HB
equivalente a:
- m’ : 1 = 1 : m

(-m')*m = 1

m' = (-1)/m

la relazione precedente fornisce il valore del parametro angolare della retta r’ perpendicolare alla retta r data.
La condizione affinché due rette siano perpendicolari è che i loro coefficienti angolari siano fra loro reciproci e di segno contrario.

Esempio: Consideriamo la retta y = 3x -5, si vuole scrivere la retta perpendicolare alla retta data e passante per il punto P (-1,1).
Come visto nell'esempio di due rette parallele, prima scriviamo tutte le rette passanti per P e poi applichiamo la condizione di perpendicolarità. La retta per P abbiamo visto che risulta essere data dall'equazione

y = m(x + 1) +1

ponendo m = -1/3 (condizione di perpendicolarità)
avremo

y = (-1/3)(x + 1) + 1

e quindi l'equazione della retta cercata è

y = (-1/3)x + 2/3