Sitografia

• http://www.manuali.it/manuali-guide/Informatica-e-Internet/Software-Matematici/Derive/Guida-a-Derive/129-2590-1.html
• http://www.manuali.it/manuali-guide/Informatica-e-Internet/Software-Matematici/Cabri-Geometry-II/Cabri-Geometry-II/129-1410-1.html
  

Bibliografia

• Lamberti L. - Mereu L. - Nanni A., Matematica Uno - Elementi di geometria analitica, ed. ETAS LIBRI
• Dodero N. - Baroncini P. - Manfredi R., Nuovo corso di geometria analitica e di complementi di algebra, Ghisetti e corvi editori

Discussione

Nell'unità didattica presentata, ho voluto dare un'impronta un po' diversa dalla classica e sola lezione frontale, mostrando l'utilizzo di due software quali Derive e Cabrì. Infatti il loro uso è importante per capire meglio i concetti matematici, soprattutto per argomenti che affronteremo più avanti e che risultano meno intuitivi rispetto alla retta. Nel caso specifico, che cosa abbiamo potuto notare? Con l'utilizzo della tecnologia siamo riusciti a capire più facilmente il significato del coefficiente angolare di una retta, mostrando come cambia la sua pendenza al cambiare del coefficiente angolare stesso. Inoltre si riesce a mostrare in modo immediato tutto quanto presentato nell'unità didattica (parallelismo e perpendicolarità tra due o più rette, passaggi per due punti ecc.). Con Cabrì si riesce a mostrare dinamicamente il cambiamento della retta tramite, per esempio, lo spostamento di un punto della retta stessa, in questo modo si riesce a vedere come cambia l'equazione e quindi il suo coefficiente angolare.
In alternativa/mancanza di Cabrì (www.cabri.com), suggerisco alcuni link che potrebbero essere utili proprio per mostrare questa dinamicità:

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml

http://www.math.it/formulario/retta.htm

Il seguente, invece permette di tracciare la retta inserendo i valori di due punti:

http://www.mathsisfun.com/straight-line-graph-calculate.html

In aggiunta agli esercizi proposti a lezione o contenuti nel libro di testo, propongo di svolgere i test di autovalutazione relativi all'argomento "Retta" presenti nel seguente link:

http://www.math.it/quiz/analitica/index.htm

Concludo qui l'argomento in esame, con la speranza che quanto presentato non solo possa essere utile a livello cognitivo, ma possa anche rappresentare uno spunto di dibattito e suggerimenti che permettano di raggiungere sempre più efficaci modalità di didattica.

Griglia di valutazione

Di seguito viene riportata la griglia di valutazione a cui si fa riferimento per l'assimilazione dei contenuti elaborati. Questa griglia non tiene conto dei canoni di valutazione relativi ad interventi, attenzione in classe ed ordine nell'elaborazione dei contenuti. Il voto finale terrà in considerazione tutto il quadro generale del ragazzo.

Voto	Giudizio	Obiettivi didattici
9-10	Ottimo	Conoscenza completa ed approfondita. L'alunno rielabora le nozioni apprese in modo critico e personale, svolge calcoli e procedure con la massima precisione e disinvoltura, si esprime con proprietà di linguaggio e sa applicare le conoscenze anche in conte
8	Buono	Conoscenza completa ed articolata. L'alunno non commette errori nei calcoli e nelle procedure, si esprime correttamente e con buona precisione, inoltre applica con sicurezza le conoscenze acquisite
7	Discreto	Conoscenza completa. L'alunno commette qualche errore ed imprecisione nei calcoli e nella applicazione delle regole, si esprime in modo corretto , dimostra di aver capito gli argomenti trattati
6	Sufficiente	Conoscenza completa ma superficiale. L'alunno commette qualche errore di calcolo anche in esercizi di tipo ripetitivo, si esprime in modo semplice ma chiaro.
5	Insufficiente	Conoscenza incompleta e frammentaria. L'alunno commette errori di calcolo e nella applicazione delle regole. Si esprime in modo faticoso e senza proprietà di linguaggio; trova difficoltà anche in semplici esercizi.
4	Gravemente insufficiente	Conoscenza lacunosa e superficiale. L'alunno commette molti errori, anche gravi, sia di calcolo che nella applicazione delle regole. Si esprime con difficoltà e non sa applicare le poche conoscenze apprese.
3	Scarso	L'alunno possiede solo qualche conoscenza isolata, commette gravissimi errori di calcolo e di tipo concettuale.
1-2	Negativo	L'alunno non possiede nessuna conoscenza e non riesce ad affrontare , neanche se guidato, semplici esercizi.

Valutazione

La valutazione verterà a verificare:

a) La conoscenza di regole, termini, proprietà.
b) La comprensione dei concetti.
c) La competenza nell’applicazione delle tecniche di calcolo
d) Le capacità di analisi e di sintesi, intuitive e critiche.
e) La partecipazione e l’attenzione in classe.
f) I progressi rispetto alla situazione di partenza.
g) La capacità di utilizzare il testo e i materiali didattici.
h) La puntualità e la completezza dei lavori domestici.
i) Gli approfondimenti.

Coclusione unità didattica

NOTA CHE: per una migliore assimilazione dell'argomento da parte dei ragazzi vengono proposti alla fine di ogni argomento una serie di esercizi, presi dal libro di testo, da elaborare come compiti a casa, così da far prendere confidenza con l'argomento trattato e far nascere eventuali dubbi che vengono discussi nelle lezioni successive.
A conclusione dell'unità didattica affrontata si propone una verifica scritta, preceduta da un paio di ore di verifiche orali.
La verifica prenderà in esame esercizi del tipo visti in classi, potranno essere degli esercizi a risposta chiusa, come i seguenti:
- l'equazione della retta passante per i punti A (4 , -1) e B (-2 , 5) è:

a. y - 1 = - (x + 4)
b. y + 5 = - (x - 2)
c. y - 5 = - (x - 2)
d. nessuna delle precedenti

- Soltanto una tra le seguenti coppie di rette è formata da rette perpendicolari. Quale?
a. 2y + x = 0 e y = -2x
b. 2x - y + 1 = 0 e 2x + y + 2 = 0
c. 2x - y + 1 = 0 e -x + 2y + 2 = 0
d. 2x + y + 1 = 0 e x - 2y + 2 = 0

oppure problemi aperti come quelli visti negli esempi delle lezioni precedenti o anche un po' più intuitivi del tipo:
- scrivi l'equazione di tre rette che, insieme con la retta di equazione
x -3y + 3 = 0 individuino un quadrato.

Condizione di perpendicolarità tra due rette

Data l’equazione della retta r del tipo y = mx si vuole determinare l’equazione della retta ad essa perpendicolare (vedi figura sotto).
Si conduce la retta perpendicolare ad r la quale avrà un’equazione del tipo y = m’x, ma non si conosce il valore di m’.

Dal punto H individuato sull’asse delle x a distanza pari ad 1 si conduce la retta parallela all’asse delle y. Quest’ultima interseca r nel punto B, mentre individua r’ nel punto A.
I triangoli OAH e OBH sono rettangoli in H ed è possibile applicare il 2° Teorema di Euclide:
AH : OH = OH : HB
equivalente a:
- m’ : 1 = 1 : m

(-m')*m = 1

m' = (-1)/m

la relazione precedente fornisce il valore del parametro angolare della retta r’ perpendicolare alla retta r data.
La condizione affinché due rette siano perpendicolari è che i loro coefficienti angolari siano fra loro reciproci e di segno contrario.

Esempio: Consideriamo la retta y = 3x -5, si vuole scrivere la retta perpendicolare alla retta data e passante per il punto P (-1,1).
Come visto nell'esempio di due rette parallele, prima scriviamo tutte le rette passanti per P e poi applichiamo la condizione di perpendicolarità. La retta per P abbiamo visto che risulta essere data dall'equazione

y = m(x + 1) +1

ponendo m = -1/3 (condizione di perpendicolarità)
avremo

y = (-1/3)(x + 1) + 1

e quindi l'equazione della retta cercata è

y = (-1/3)x + 2/3

Equazione di rette parallele ad una retta data

Date due rette r ed s, di equazione, rispettivamente y = mx + q e y = m'x + q' se le due rette sono parallele, gli angoli che esse formano con l’asse delle x sono uguali e quindi risulta:

m = m’ e viceversa.
Pertanto: due rette sono parallele, se e soltanto se hanno il medesimo coefficiente angolare.

Esempio: Consideriamo la retta y = 3x - 5, vogliamo scrivere la retta parallela alla retta data e passante per il punto P (-1, 1).
Calcoliamo tutte le possibili rette passanti per P con la seguente formula, vista nelle lezioni precedenti

y - yp = k (x - xp)

dove al posto di k scriviamo m, avremo allora la seguente equazione

y - 1 = m (x + 1)

e quindi

y = m (x + 1) + 1 (1)

Vogliamo scrivere la retta parallela alla retta y = 3x - 5 che ha c.a. = 3, quindi per la condizione di parallelismo sostituendo nella (1) m = 3 avremo l'equazione cercata:

y = 3x + 4

Equazione delle rette passanti per un punto

La seguente relazione rappresenta l’equazione della retta passante per il punto P0 (x0, y0), infatti ponendo in essa le coordinate del punto P0 l’equazione è soddisfatta:

l’insieme delle infinite rette passanti per il punto P0 (x0, y0) viene individuato dalla relazione (1), facendo variare K (vedi figura di seguito). L’unica retta che non può essere ricavata dalla (1) è la retta parallela all’asse delle y, infatti il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse perde significato.

Facciamo un esempio. Consideriamo il punto P (1, -2), vogliamo scrivere tutte le rette del piano cartesiano che passano per quel punto. Utilizzando la formula (1) possiamo scrivere:

y + 2 = k(x - 1)

Variando k avremo i vari coeficienti angolari delle rette passanti per il punto P, allora scriviamo l'equazione inserendo al posto di k = m e avremo la generica retta per P:

y = m(x - 1) -2

Attenzione con questa formula avremo tutte le rette per P ad eccezione di una, quale?
L'unica retta che non possiamo rappresentare con la formula esplicita della retta è l'equazione del tipo x = h, come visto nelle lezioni precedenti. Nel nostro caso quale sarà la retta del tipo x = h? Avendo il punto P ascissa pari ad 1, sarà x = 1.

Equazione della retta parallela all'asse x

L’equazione della retta parallela all’asse delle x è rappresentata dall’insieme dei punti che hanno la stessa ordinata (vedi figura).
Ossia y = K (esempio y = 5, y = -3)

Equazione della retta parallela all'asse y

L’equazione della retta parallela all’asse delle y è rappresentata dall’insieme dei punti che hanno la stessa ascissa (figura sotto riportata). Ossia x = h (per esempio x = 3, x=-2/3)

Significato dei parametri m e q

Determinare l’intersezione della retta con l’asse delle y, significa scrivere il sistema tra la retta data e l’asse delle y. L’asse delle y è rappresentato da tutti i punti che hanno la stessa ascissa, e precisamente l’ascissa deve essere uguale a zero:

risolvendo il sistema si ottiene:in pratica q rappresenta la distanza dell’intersezione della retta data con l’asse delle y rispetto all’asse delle x (figura sotto riportata).

Il valore m rappresenta l’inclinazione della retta data rispetto all’asse delle x ed è determinata dal rapporto tra la differenza delle ordinate di due punti qualsiasi della retta e la differenza delle corrispondenti ascisse.
Nel caso di una retta passante per l’origine degli assi il parametro m è rappresentato dal rapporto y/x delle coordinate di qualsiasi punto della retta (vedi figura sottostante).

Lezione interattiva con utilizzo di Derive e Cabrì

Ricavata l’equazione esplicita della retta si possono utilizzare software didattici di matematica e geometria come il DERIVE ed il CABRI’-GEOMETRE’ affinché i ragazzi possano assimilare ed approfondire i concetti esposti mediante le precedenti lezioni frontali ed in particolare intuire i significati geometrici dei parametri m e q.
Mediante il Cabrì dalla rappresentazione grafica è possibile risalire all’equazione della retta, mentre mediante il Derive, una volta scritta l’espressione analitica è possibile tracciare con gli appositi comandi il grafico della funzione.

SCHEDA 1: TRACCIARE CON DERIVE GRAFICI DI RETTE DATE LE EQUAZIONI

Si scrivono le equazioni che si vogliono disegnare nella riga in basso, sopra i diversi simboli, una alla volta e si invia, avremo la seguente schermata con le equazioni delle rette da voler disegnare:

mediante l’icona Grafici 2D si accede ad una nuova schermata dove compare un sistema di assi cartesiani, si clicca su traccia espressione ed il programma disegna il diagramma della funzione.
I diagrammi delle espressioni che compaiono nella schermata precedente vengono di seguito

SCHEDA 2: ESERCITAZIONE GUIDATA CON DERIVE E CABRI’ G. PER INDIVIDUARE GEOMETRICAMENTE I PARAMETRI m E q

1) DERIVE : digitare l'equazione esplicita di una retta a scelta e disegnare il grafico, esempio
y = 3x + 2

2) CABRI’ : disegna il piano cartesiano
3) Traccia tre rette qualunque nel piano
4) Fai mostrare al CABRI’ le rispettive equazioni (vedi figura seguente)

5) Scegliere una delle tre rette e muoverla nel piano cartesiano osservando attentamente cosa succede alla sua equazione ( i ragazzi osserveranno che essa varia al muovere la retta)
6) Cercare di modificare l’equazione della retta ottenendo una equazione che abbia lo stesso valore del termine noto q dell’equazione scelta al punto 1 (y=3x+2) e disegnata con DERIVE cioè q=2

7) Si chiede ai ragazzi "COSA POSSIAMO RISCONTRARE"? Il termine noto q coincide con l'ordinata del punto d'intersezione della retta con l'asse y che noi chiamiamo S (0,2). Questo si vede anche nelle altre rette disegnate
8) Ora cerchiamo di modificare anche il parametro m facendo ruotare la retta, prendendo come centro di rotazione il punto S (0,2)

9) Trovata la retta che cercavamo y = 3x + 2 individuiamo il punto d'intersezione T della retta con l'asse x e facciamo indicare a CABRI' le coordinate che sono T (-0.67 , 0)
10) Individuati i segmenti OS = 2 ed OT = 0.67 proviamo con le calcolatrici ad eseguire la divisione OS/OT = 2/(0.67) = 3 che geometricamente rappresenta la pendenza del segmento TS che è contenuto nella retta data, quindi è la pendenza della suddetta retta e possiamo notare che coincide con m = 3
11) Proviamo con DERIVE a scrivere e disegnare varie equazioni di rette prestando attenzione ai valori di m e q.

Equazione esplicita della retta

L’equazione esplicita della retta si ottiene dividendo tutti i termini dell'equazione implicita

per bponendo

avremoche è l’equazione esplicita della retta.

Esempio: Consideriamo la retta in forma implicita calcolata nell'esempio visto nella scorsa lezione parlando di retta implicita, ossia -3x + y + 5 = 0. Da questa equazione possiamo ricavare subito l'equazione della retta in forma esplicita notando che nel nostro caso a = -3,

b = 1, c = 5. Ponendo avremo la nostra equazione y = 3x - 5.

Vorrei fare una precisazione. Riprendiamo il punto di partenza dell'esempio fatto nella precedente lezione, ossia si voleva disegnare la retta passante per i punti P (2,1) e Q (3,4), utilizzando la formula

avremo, come abbiamo già vistosviluppando avremo 1(y - 1) = 3(x - 2) e quindi y -1 = 3x -6 da cui y = 3x - 5, che è la stessa equazione ricavata prima partendo dalla forma implicita.
Come avete potuto notare, la formula della retta passante per due punti può essere sviluppata portandomi sia all'equazione implicita che esplicita della retta.

Equazione implicita della retta

Nel piano cartesiano si prendono due punti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) ed un punto P (x, y) (fig.n. 1), si vuole ricavare l’espressione che definisce la relazione esistente tra un qualunque valore x (ascissa di P) ed il corrispondente valore y (ordinata di P) tale che P sia allineato con P1 e P2 (valori noti). In pratica si vuole ricavare l’equazione della retta:

Dati i punti noti P1 (x1, y1) e P2 (x2, y2) nel disegno indico le coordinate sugli assi cartesiani e traccio la retta passante per i due punti noti P1 e P2. Prendo su questa retta un generico punto P ( x , y ) ed individuo i due triangoli rettangoli P1A P2 e P1 B P con angoli retti in A e B ed angolo in comune in P1 ne consegue che anche il terzo angolo è uguale (180-90-P1) quindi i triangoli in oggetto sono simili.

Per i criteri di similitudine tra i triangoli è noto che in triangoli simili il rapporto tra lati omologhi è costante quindi possiamo scrivere:Osservando i punti in oggetto grazie al riferimento cartesiano si ricava facilmente che: AP1= x2 - x1 , P2A= y2 - y1 e BP1= x - x1 , PB= y - y1 possiamo scrivere (AP1/P2A)=(BP1/PB) nel modo seguente:

da cui:quest’ultima rappresenta l’equazione della retta passante per due punti di coordinate note.
Facendo il minimo comune multiplo si ottiene:

ponendo:

sostituendo nella (3) i termini indicati ai punti (4), (5) e (6) si ha

ossia l'equazione implicita della retta, come volevasi dimostrare.

Esempio: Consideriamo nel piano cartesiamo i punti P (2,1) e Q (3,4) e disegniamo la retta passante per i punti dati. Utilizziamo la formula

e sostituendo le coordinate di P e Q nella formula avremo:

sviluppando si arriva all'equazione -3x + y + 5 = 0 equazione della retta in forma implicita passante per i punti P e Q.

Schema Unità Didattica (3/3)

Contenuti:

Equazione implicita della retta;
Equazione esplicita della retta;
Lezione interattiva con software DERIVE e CABRI’
Significato dei parametri m e q;
Equazione della retta parallela all’asse delle y;
Equazione della retta parallela all’asse delle x;
Equazione delle rette passanti per un punto (fascio di rette);
Equazione delle rette parallele ad una retta data;
Condizione di perpendicolarità tra due rette.

Metodologia:
Lezione frontale;
Lezione interattiva.

Strumenti:
Libro di testo;
Lavagna classica;
Lavagna luminosa;
Utilizzo di programmi quali Cabrì e Derive;
Strumenti semplici del disegno quali riga, compasso e squadre.

Verifiche:

Le modalità di verifica saranno scritte e orali:

1. Le verifiche scritte potranno essere articolate sia sottoforma di problemi ed esercizi di tipo tradizionale, sia sottoforma di test oggettivi a scelta multipla, risposte di completamento, questionari a risposte aperte.
2. Le verifiche orali saranno volte a valutare le capacità di ragionamento, la capacità espositiva e la padronanza del linguaggio.
   

Inoltre, per lo specifico modulo, le verifiche saranno di tre tipi:

1. La verifica diagnostica, per cercare di conoscere la preparazione di base dei ragazzi e qualora essa non fosse reputata sufficiente, sarà attuato, all’inizio del modulo, un recupero al fine di uniformare la preparazione degli studenti;
2. La verifica formativa viene attuata alla fine dell’unità didattica. Questo tipo di verifica permette di valutare come procede l’acquisizione delle conoscenze e la comprensione dei contenuti. In pratica serve a capire il livello di apprendimento della classe ed ha lo scopo di accertare quali abilità si stiano acquisendo e le difficoltà che si incontrano, in tal modo si può attivare tempestivamente un’attività di recupero;
3. La verifica sommativa trova la sua collocazione alla fine del modulo. Questo tipo di verifica corrisponde al classico “compito in classe” e serve a valutare l’acquisizione dei contenuti e le capacità dello studente

Schema Unità Didattica (2/3)

Prerequisiti:

Conoscenza del sistema cartesiano ortogonale;
Conoscenza delle coordinate cartesiane nel piano;
Conoscenza delle Equazioni di I° grado
Conoscenza dei Criteri di similitudine tra i triangoli;

Obiettivi in termini di conoscenze:
Conoscere l’equazione della retta in forma esplicita ed implicita;
Conoscere il coefficiente angolare di una retta;
Conoscere il significato di q;
Conoscere l’equazione di una retta parallele all’asse delle y;
Conoscere l’equazione di una retta parallele all’asse delle x;
Conoscere l’equazione di una retta passante per un punto;
Conoscere la condizione di parallelismo;
Conoscere la condizione di perpendicolarità tra due rette.

Obiettivi in termini di competenze:
Saper scrivere l’equazione di una retta parallela ad uno degli assi;
Saper scrivere l’equazione della retta sia in forma esplicita che implicita;
Saper determinare il coefficiente angolare di una retta nota l’equazione della retta o note le coordinate di due suoi punti;
Saper determinare l’equazione di una retta passante per due punti;
Saper determinare il punto d’intersezione di due rette;
Saper scrivere l’equazione di una retta parallela ad una retta data;
Saper scrivere l’equazione di una retta perpendicolare ad una retta data.

Obiettivi in termini di capacità: Secondo bimestre
Saper scrivere l'equazione di una retta anche in un'altra disciplina (fisica, matematica finanziaria);
Saper risolvere problemi;
Saper risolvere problemi secondo una strada più raffinata.

Schema Unità Didattica (1/3)

Argomento:
La retta

Materia:
Matematica

Classe alla quale è destinata:
Seconda di un Istituto Tecnico Commerciale

Ubicazione nel piano annuale:
Secondo bimestre

Tempi di svolgimento:
15 ore di cui 3 di laboratorio e 5 di verifica scritta e orale

Con tale blog vorrei presentare una possibile lezione di matematica proposta ad una classe II di un'istituto tecnico. L'obiettivo è quello di dare la possibilità agli studenti di rivedere l'argomento già affrontato in classe e di ricevere dei feedback/suggerimenti da altri docenti sulla lezione presentata. Nei prossimi post inserirò la struttura ed i contenuti della lezione.

Ciao, questo e' il mio primo blog